Nelle figure abbiamo una dimostrazione "intuitiva" (figura A) e una" razionale" (figura B) del famoso teorema di Pitagora: In ogni triangolo rettangolo [nella figura B, il triangolo ABC] il quadrato costruito sull'ipotenusa [il quadrato BCDE] è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti [i quadrati ACHI + ABFG]. Del teorema di Pitagora esiste, in periodici storici antecedenti al nostro filosofo-matematico, qualche approssimativa anticipazione: le dimensioni della piramide di Cheope, ad esempio. Oltre agli Egizi, sembra che anche i Babilonesi ne avessero una conoscenza empirica. Ma solo con i Greci la geometria si sviluppò e venne approfondita con una trattazione rigorosa, prescindendo dai problemi pratici. Nei secoli successivi l'ammirazione per la rigorosa dimostrazione di questo teorema è stata grande e generale. Così Proclo (V sec. d. C.), l'autorevole storico delle antiche matematiche, scrive: "Ammiro coloro che per primi scoprirono la verità di questo teorema". Così il grande astronomo Keplero (XVII sec.) che dichiara il teorema di Pitagora uno dei "gioielli" della geometria elementare.

Così il filosofo Schopenhauer (XIX sec.) che afferma: "La verità irrompe da una porticina secondaria; la dimostrazione dopo aver chiuso tutte le porte, ne lascia aperta una sola nella quale si ha quindi da entrare per forza"; ed altrove: "spesso, come accade nel teorema di Pitagora, vengono tirate certe linee senza che si sappia perché: poi si apprende che erano laccioli destinati a stringersi all'improvviso per imprigionare l'assenso del discepolo". Il teorema di Pitagora è stato oggetto di approfonditi studi dall'antichità ai nostri giorni: è sufficiente ricordare che ne sono state date circa cinquanta diverse dimostrazioni razionali. Quella di Euclide, ad esempio, parte dalla costruzione, dal vertice dell'angolo retto, della perpendicolare all'ipotenusa, per dividere in due rettangoli il quadrato costruito su questa. Altri, invece, scompongono il quadrato costruito sull'ipotenusa in poligoni e, in particolare, in triangoli uguali. Altri, ancora, lo scompongono in cinque parti. Altri, infine, dimostrano il teorema di Pitagora non per "somma" di poligoni uguali, bensì per "differenza".

I pitagorici non conoscevano lo zero

Probabilmente i Pitagorici non avrebbero mai festeggiato in tempo l'anno 2000. Perché?
Il metodo standard per la misurazione del tempo si fonda sul principio di datazione dell'Anno Domini, fondato sulla convenzione di contare gli anni a partire dal momento della nascita di Cristo (Anno zero), denominando i periodi antecedenti con la dizione «avanti Cristo» (abbreviando a.c.) e i periodi susseguenti con quella «dopo Cristo» (d.C.). Tale metodo sviluppato nel V secolo dal monaco Dionigi il Piccolo, infatti, è, in realtà, errato a causa della mancata conoscenza del «concetto di zero» da parte della cultura dell'epoca (per cui, Dionigi e i suoi contemporanei non pensavano che Cristo fosse nato nell'anno zero, ma in un istante tra l'anno l a.c., e l'anno l d.C.). Il simbolo dello zero fu, infatti, introdotto in Europa dagli Arabi, che lo avevano appreso dagli Indiani, solo nell'VIU secolo.

L'aritmetica occidentale, che deve la sua sistematizzazione soprattutto ai Greci (e i particolare ai pitagorici, che scoprirono i numeri irrazionali, perfezionarono il metodo di numerazione decimale, coniarono il termine di numerazione alfabetica per indicare gli studi teorici sui numeri, ecc.), era invece riuscita soltanto ad ipotizzare l'esistenza dello zero. l romani, ad esempio, erano consci della sua importanza, ma lo esprimevano solo tramite artifici di scrittura. Gli antichi, quindi, non potevano utilizzare correttamente lo zero nei calcoli matematici. Visto che i conti di Dionigi non partirono dall'anno zero, ma dall'anno l d.C., e considerati gli altri errori di calcolo che universalmente tutti, ormai, gli attribuiscono, il secondo millennio inizierà, paradossalmente, quando sarà già terminato.

I pitagorici e le grandezze incommensurabili

Sappiamo che due grandezze omogenee possono essere commensurabili e incommensurabili. Sono commensurabili quando ammettono una grandezza sottomultipla comune; cioè quando esiste una terza grandezza, omogenea con le prime due, che è contenuta un numero intero di volte in ciascuna grandezza. Sono incommensurabili, invece, quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune; cioè quando non è possibile determinare una terza grandezza, omogenea a queste, che sia contenuta un numero intero di volte in ciascuna di esse. Ebbene, furono per primi i Pitagorici che, studiando il lato e la diagonale di un quadrato, rilevarono che i due segmenti in questione erano grandezze incommensurabili. Cioè essi furono costretti ad ammettere l'esistenza di grandezze omogenee sprovviste di un sottomultiplo comune.
Abbiamo evidenziato che essi furono costretti a questa conclusione perché la scoprirono loro malgrado. Questa scoperta, infatti, li sconcertò, li sconvolse. Perché? I Pitagorici ritenevano che i corpi fossero costituiti da corpuscoli tutti uguali fra loro e disposti in forme geometri- che. Questa convinzione faceva loro pensare che anche i punti avessero un'estensione sia pur piccolissima.

Da ciò essi deducevano che un segmento doveva ritenersi formato da un numero finito di punti. Il rapporto di due segmenti, dunque, doveva risultare uguale al rapporto dei numeri interi il quale doveva esprimere quante volte il punto era contenuto in ciascuno dei due segmenti. In altri termini era il punto il sottomultiplo comune a tutti i segmenti, per cui tutti i segmenti dovevano essere commensurabili tra loro. Dalle applicazioni del teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli, invece, essi dedussero l'opposto. L’esistenza, cioè, di grandezze incommensurabili. I Pitagorici - sappiamo - costituivano un gruppo a carattere non solo scientifico, ma anche non implicazioni
politiche e con valenza religiosa. Essi davano, perciò, un significato mistico alla loto interpretazione della realtà fisica e geometrica: costituiva, cioè, l'anello di congiunzione fra l'umano e il divino. La scoperta delle grandezze incommensurabili sembrò dunque, ai Pitagorici sconcertante, blasfema. Fu proibito ai loto adepti di rivelare ad altri questa verità matematica sotto minaccia di essere considerati sacri leghi ed invisi agli dei. Si racconta, addirittura, che il pitagorico Ippaso da Metaponto perì in mare proprio per avere rivelato questa verità ad estranei.